Category Archives: Phương trình

Bài 9: Giải phương trình

by

Đề bài : Giải phương trình sau :

\sqrt{(1+x^2)^3}-4x^3=1-3x^4\star

Lời Giải: 

Ý tưởng: Nhận thấy x=0 là 1 nghiệm của phương trình, từ đó ta có thể sử dụng liên hợp

We have :

\sqrt{(1+x^2)^3}-1=4x^3-3x^4

\Leftrightarrow \dfrac{(1+x^2)^3-1}{\sqrt{(1+x^2)^3}+1}=x^2(4x-3x^2)

\Leftrightarrow \dfrac{x^2(x^4+3x^2+2)}{\sqrt{(1+x^2)^3}+1}=x^2(4x-3x^2)

\Leftrightarrow x^2(\dfrac{x^4+3x^2+2}{\sqrt{(x^2+1)^3}+1}+3x^2-4x)=0

\Rightarrow x=0 \\or \dfrac{x^4+3x^2+2}{\sqrt{(x^2+1)^3}+1}+3x^2-4x=0

Tới đây  chỉ cần chứng minh \dfrac{x^4+3x^2+2}{\sqrt{(x^2+1)^3}+1}+3x^2-4x \neq 0 cái này chứng minh bằng cách biến đổi tương đương là được 

Vậy phương trình có 1 nghiệm x=0

Cách 2: 

Phương trình đã cho tương đương với phương trình:

 

3x^4+\sqrt{(1+x^2)^3}=4x^3+1

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm có:

 

\left ( 1+\dfrac{3}{2}x^2 \right )+\left ( 1+\dfrac{3}{2}x^2 \right )+1\geq 3\sqrt[3]{\left ( 1+\dfrac{3}{2}x^2 \right )^2}

 

\Leftrightarrow \sqrt{(1+x^2)^3}\geq 1+\dfrac{3}{2}x^2

 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 4 số không âm ta được:

 

x^4+2x^4+x^2+\dfrac{1}{2}x^2\geq 4\sqrt[4]{x^12}=4x^3

 

\Leftrightarrow 3x^4+\dfrac{3}{2}x^2\geq 4x^3

 

Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên ta có: 3x^4+\sqrt{(1+x^2)^3}\geq 4x^3+1

 

Đẳng thức phải xảy ra nên dấu bằng ở các bất đẳng thức phải xảy ra hay x=0