Bài 23: Giải hệ phương trình

by

Đề Bài: Giải hệ phương trình sau:

\left\{\begin{matrix} 3(x+y)(x+1)^2 &=8x^2 & \\ 7(x-y)(y-1)^2 &=64y^2 & \end{matrix}\right.

Lời giải : 

Bài này trâu bò quá ! 

Nhận thấy x=-1 hoặc y=1 không phải là nghiệm của phương trình.

Dễ thấy \left\{\begin{matrix} x+y \geq 0 & & \\ x-y \geq 0 & & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x \geq 0 & & \\ x^2 \geq y^2 & & \end{matrix}\right.

Phương trình (1) \Leftrightarrow y=\dfrac{8x^2}{3(x+1)^2}-x=\dfrac{-x(3x^2-2x+1)}{3(x+1)^2} \leq 0 \Rightarrow y \leq 0

HPT  \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 24(x+y)=\dfrac{64x^2}{(x+1)^2} &(3) & \\ 7(x-y)=\dfrac{64y^2}{(y-1)^2} & (4) & \end{matrix}\right.

Lấy (3) trừ (4) ta có :

17x+31y=64(\dfrac{x}{x+1}-\dfrac{y}{y-1})(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y-1})=64(\dfrac{-x-y}{(x+1)(y-1)})(\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y-1}) \geq 0 \Rightarrow 17x+31y \geq 0

Mặt khác  32x+32y \geq 0 \Rightarrow 49x+63y \geq 0 \Rightarrow 7x+9y \geq 0

Từ phương trình (2) ta có 7(x-y)(y-1)^2-64y(y-1)-64y=0

\Delta_{y-1}=64y(7x+9y) \leq 0 \Rightarrow \left\{\begin{matrix} y=0 & & \\ 7x+9y=0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=0 & & \\ y=0 & & \end{matrix}\right.

Vây hệ phương trình có một nghiệm \boxed{x=y=0}

Bình luận về bài viết này