Bài 25: Hình học : Chứng minh O trung điểm EF

by

Đề bài :        Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy một điểm M (M khác A). KẺ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Nối MO cắt CB tại E và BD tại F. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF .

Lời giải : 

gh

Kẻ tiếp tuyến MA’

(-)  Xét tam giác MA’D và tam giác FBE ta có :

(+)  A'B//MO (cùng vuông góc với AA’)  \Rightarrow \angle OEB =\angle EBA' (SLT)

mà  \angle CDA' =\angle EBA' \Rightarrow \angle OE'B= \angle CDA'

(+) \angle DBC =\angle CA'D ; \angle CA'D =\angle DMA' \Rightarrow \angle DMA'= \angle EBF

suy ra \triangle MA'D \sim \triangle FBE (gg)  

\Rightarrow \dfrac{A'D}{A'C}=\dfrac{BE}{BF}

Dễ dàng chứng minh được 2 tam giác ACM và DAM đồng dạng \Rightarrow \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{MD}{MA}(1)

2 tam giác A’CM và DA’M đồng dạng \Rightarrow \dfrac{A'D}{A'C}=\dfrac{MD}{MA'}(2)

Từ (1) và (2) kết hợp MA=MA’ suy ra \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{A'D}{A'C}

\Rightarrow \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{BE}{BF}\Leftrightarrow AD.BF=AC.BE

nên 2 tam giác AEB và tam giác  AFB có diện tích bằng nhau tới đây ta chứng minh được OF=OE rồi

 

 

 

 

 

 

Bình luận về bài viết này