Giải trí: HÓA RA MỌI THỨ TRONG CUỘC SỐNG ĐỀU ĐƠN GIẢN

by

HÓA RA MỌI THỨ TRONG CUỘC SỐNG ĐỀU ĐƠN GIẢN

1.

 Có một người vào thi để xin việc làm trong một công ty nọ, khi đi dọc hành lang đến phòng thi, anh thấy có mấy tờ giấy vụn dưới đất, liền cúi xuống nhặt lấy và bỏ vào thùng rác. Người phụ trách thi vấn đáp vô tình trông thấy từ xa, đã quyết định nhận anh ta vào làm việc cho công ty. Hóa ra để được trọng dụng thật là đơn giản, chỉ cần tập những thói quen tốt.

2.
Có một cậu bé vào tập việc trong một tiệm sửa xe đạp, có người khách đem đến một chiếc xe đạp hư, cậu bé không những sửa lại cho thật tốt, mà còn lau chùi cho chiếc xe cho sạch đẹp. Những người đang học việc khác cười nhạo cậu bé đã dại dột, đã chẳng được thêm chút tiền công nào lại còn tốn sức. Hai ngày sau, người khách trở lại, thấy chiếc xe đạp vừa tốt vừa đẹp như mới mua, cậu bé liền được người khách nhận đưa về hãng của ông ta để làm việc với mức lương cao. Hóa ra để thành đạt trong đời thật đơn giản, chỉ cần cố gắng chịu thiệt thòi một chút…

3.
Có một em bé nói với mẹ: “Mẹ ơi, hôm nay mẹ rất đẹp!” Bà mẹ hỏi: “Ơ, sao con lại khen mẹ như thế ?” Em bé trả lời: “Bởi vì hôm nay mẹ… không nổi giận như mọi ngày!” Hóa ra muốn có một vẻ đẹp khả ái cũng thật đơn giản, chỉ cần không nổi giận là được.

4.

Có một huấn luyện viên quần vợt nói với học sinh: “Nếu quả bóng rơi vào trong đám cỏ, thì làm thế nào để tìm nó ? Một người nói: “Bắt đầu từ trung tâm đám cỏ mà tìm.” Một người khác nói: “Bắt đầu từ nơi chỗ đất trũng nhất mà tìm.” Lại một người khác nói: “Bắt đầu từ trong đám cỏ cao nhất mà tìm.” Huấn luyện viên tuyên bố đáp án chính xác nhất: “Làm từng bước một, từ đám cỏ này đến đám cỏ kia.” Hóa ra phương pháp để tìm thành công thật đơn giản, cứ tuần tự, từ số 1 đến số 10 không nhảy vọt là có thể được.

5.

Có một cửa hàng thương nghiệp đèn đuốc thường sáng trưng, có người hỏi: “Tiệm của anh thường dùng loại đèn nào vậy, tôi thấy rất bền, lúc nào cũng sáng, chẳng thấy chiếc bóng nào hư !?!” Người trông coi cửa hàng nói: “Đèn của chúng tôi cũng hay bị cháy lắm, chẳng qua là chúng tôi thường thay ngay bóng đèn mới khi bóng đèn cũ vừa bị hư mà thôi.” Hóa ra để duy trì ánh sáng thật đơn giản, chỉ cần thường xuyên thay đổi là được.

6.

Con nhái ở bên ruộng nói với con nhái ở bên vệ đường: “Anh ở đây quá nguy hiểm, dọn qua chỗ tớ mà ở.” Con nhái ở bên đường trả lời: “Tớ đã quen rồi, hơn nữa, cũng thấy ngại, làm biếng không muốn dọn nhà.” Mấy ngày sau con nhái ở bên ruộng đi thăm con nhái ở bên đường, phát hiện nó đã bị xe chạy ngang qua cán chết rồi, xác nằm bẹp dí bên đường đi. Hóa ra phương pháp nắm giữ vận mệnh thật đơn giản, tránh xa lười biếng là xong.

7.

Có một con gà con đang phá tìm cách vỏ trứng để chui ra, nó chần chừa e ngại thò đầu ra ngoài ngó nghiêng sự đời xem sao… Ngay lúc ấy có một con rùa chậm chạp lết ngang qua đó. Thế là con gà con quyết định rời khỏi cái vỏ trứng ngay lập tức, không do dự chi nữa. Hóa ra muốn thoát ly gánh nặng trầm trọng thật đơn giản, chỉ cần dẹp bỏ óc thành kiến cố chấp là có thể được.

8.

Có mấy em bé rất muốn làm thiên thần, Thượng Đế trao cho mỗi bé một cái chân đèn bằng đồng, và bảo chúng trong lúc chờ Ngài trở lại, hãy giữ cái chân đèn sao cho luôn được sáng bóng. Nhưng rồi một tuần đã trôi qua đi mà vẫn chưa thấy Thượng Đế trở lại, tất cả các em bé đã nản chí, không còn chúi bóng chân đèn của mình nữa. Một hôm, Thượng Đế đột nhiên đến thăm, chân đèn của mỗi đứa bé lười nhác đều đã đóng một lớp bụi dày, chỉ duy có em bé mà thường ngày cả bọn vẫn kêu bằng thằng ngốc, dù cho Thượng Đế chưa thấy đến, hằng ngày bé vẫn nhớ lời dặn, lau chùi cái chân đèn sáng bóng. Kết quả em bé ngốc này được trở thành thiên thần. Hóa ra làm thiên thần thật đơn giản, chỉ cần có một tấm lòng thật thà tận tụy.

9.

Có một con heo nhỏ đến xin làm môn đệ của một vị thần, vị thần ấy vui vẻ chấp nhận. Lúc ấy có một con trâu nghé từ trong đám bùn lầy bước ra, toàn thân đầy lấm lem đầy bùn dơ bẩn, vị thần nói với con heo nhỏ: “Heo ơi, con hãy đến giúp con nghé tắm rửa cho sạch sẽ đi.” Con heo nhỏ trố mắt ngạc nhiên: “Con là môn đệ của thần, sao lại có thể đi phục vụ một con nghé bẩn thỉu như thế chứ ?” Vị thần bảo heo con: “Con không đi phục vụ kẻ khác, thì kẻ khác làm sao biết được con là… môn đệ của Ta ?” Hóa ra học hành tập luyện để nên giống một vị thần thật đơn giản, chỉ cần đem lòng thành thật ra mà phục vụ là được.”

10.

Có một đoàn người đãi vàng đang đi trong sa mạc, ai nấy bước đi nặng nhọc, chỉ có một người bước đi cách vui vẻ, người khác hỏi: “Làm sao anh có thể vui vẻ được chứ ?” Người ấy trả lời: “Bởi vì tôi mang theo hành trang thật gọn nhẹ.”

Hóa ra sống vui vẻ thật đơn giản, có thiếu thốn chút ít đi nữa thì vẫn không sao.

Bài 32:Hình học: Chứng minh rằng KC và KD cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O)

by

Đề bài : (bài 4 đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2013-2014)

Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm M là điểm ngoài đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến MA;MB (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến đi qua M cắt đường tròn tại C,D (C nằm giữa M và D) cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Gọi E là giao điểm của AB với  OM.

 a. Chứng minh \angle DEC=2\angle DBC

 b. Từ O kẻ tia Ot vuông góc với CD cắt tia BA ở K. Chứng minh KC và KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Lời giải :

a) Áp dụng hệ thức lượng trong đường tròn ta có MC.MD=MB^2(1)

Mặt khác: Tam giác OMB vuông có đương cao BE nên áp dụng hệ thức lượng ta có

ME.MO=MB^2(2)

Từ (1);(2) suy ra ME.MO=MC.MD\Rightarrow \dfrac{ME}{MC}=\dfrac{MD}{MO}

Xét tam giác MCE và tam giác MOD có \angle DMO chung.

\dfrac{ME}{MC}=\dfrac{MD}{MO}(cmt)

\Rightarrow tam giác MCE ~DMO(c.g.c) \Rightarrow \angle MCE=\angle MOD

\Rightarrow CEOD là tứ giác nội tiệp \Rightarrow \angle CED=\angle COD=2\angle CBD(Q.E.D)

b)

Đặt \angle MEC=\angle MDO=x  ta có :

\angle COK=\angle DOK=90-x; \angle CEK=90-x

\Rightarrow \angle COK=\angle CEK \Rightarrow KCEO là tứ giác nội tiếp

\Rightarrow OCK=\angle KEO=90 độ nên KC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Chứng minh tương tự ta cũng có KD là tiếp tuyến đường tròn (O)

Vậy KC;KD là tiếp tuyến của đường tròn (O) đpcm. \blacksquare

Giải trí:Tôi biết 20 năm nữa…bạn sẽ hối tiếc điều gì !

by

Tôi biết 20 năm nữa…bạn sẽ hối tiếc điều gì

Nguồn: congso.net

1958500_654154494643969_1492982141_n

Tôi đã trải qua rất nhiều điều không may trong cuộc sống và giờ ở lứa tuổi gần đất xa trời, tôi cũng như bao người khác lại ước gì. Và tôi biết những bạn trẻ đang ở tuổi 20, 30 bây giờ, sau hai mươi năm nữa họ sẽ lại nói câu Ước gì, giá như…

Ở những giây phút tồn tại cuối cùng của cuộc đời, con người ta mới nhận ra rằng mình thật ngu ngốc khi đã không làm những công việc đơn giản như thế. Những điều tưởng chừng như nhỏ nhoi nhưng lại vô cùng giá trị đã bị chúng ta bỏ quên mà thay vào đó là những tham vọng theo tiếng gọi của vật chất.

Bạn có biết khi trên cơ thể còn vương lại những nhịp thở cuối cùng, con người ta sẽ hối tiếc và trăn trở về những điều gì nhất không? Nếu bạn biết được những điều này, bạn sẽ có thể thực hiện nó ngay tư bây giờ để không phải dẫm lên con đường cũ của họ. Thay vào đó, bạn sẽ mãn nguyện nhắm mắt đi về Thế Giới bên kia khi số mệnh của mình kết thúc.

Nhiều năm chăm sóc và gần gũi những bệnh nhân nặng ở giai đoạn cuối, nữ y tá Bronnie Ware (người Australia) được nghe họ kể về những điều trăn trở hay hối tiếc vì đã không làm được khi còn khoẻ mạnh. Tất cả ký ức từ những cuộc trò chuyện trên được Bronnie đưa vào cuốn sách vừa xuất bản mang tên “The top five regrets of the dying” (tạm dịch là “năm điều tiếc nuối nhất của người đang hấp hối”). Trong đó, nữ y tá diễn tả rất cặn kẽ về những điều mà người ta phải đối diện khi ở vào giai đoạn cuối cuộc đời. Qua đó mỗi người cũng chúng ta có thể học hỏi và rút kinh nghiệm.

Sau đây là 5 điều hối tiếc phổ biến nhất, mà đa phần người ta đều nói rằng họ muốn thay đổi nó nếu như được lựa chọn lại:

1. “Tôi ước gì đủ can đảm để bày tỏ cảm xúc của mình”:

“Nhiều người luôn kìm nén cảm xúc của mình chỉ vì muốn ‘dĩ hoà vi quý’ với mọi người. Hệ quả là họ phải sống một cuộc sống tầm thường và không trở thành người như họ thực sự mong muốn. Nhiều người vì thế mà bị ức chế, phẫn uất dẫn đến bệnh tật”.

2. “Ước gì tôi đã để bản thân mình được sống hạnh phúc hơn”:

“Đây là nỗi hối tiếc phổ biến. Thật ngạc nhiên bởi nhiều người đã không nhận ra điều này rằng, cuối cùng hạnh phúc là một sự lựa chọn. Họ bị mắc kẹt trong những khuôn mẫu và thói quen cũ, nó tạo cho họ cảm giác ‘thoải mái’ giả tạo. Nỗi sợ hãi phải thay đổi bản thân khiến họ phải sống giả vờ với người khác cũng như với chính bản thân họ”.

3. “Tôi ước gì mình đã không làm việc quá cật lực”:

“Đây là điều được thổ lộ từ những nam bệnh nhân mà tôi đã từng chăm sóc. Họ đã bỏ lỡ tuổi trẻ của con cái cũng như mối tương quan vợ chồng. Mặc dù các nữ bệnh nhân cũng nói về điều này nhưng hầu hết họ thuộc thế hệ cũ, thời mà phụ nữ không phải là người trụ cột gia đình. Trong khi đó tất cả những nam bệnh nhân mà tôi chăm sóc đều giãi bày sự hối hận sâu sắc vì đã bị cuốn vào vòng xoáy công việc để mưu sinh”.

4. “Ước chi tôi có đủ can đảm để sống một cuộc đời đúng nghĩa là của mình chứ không phải là cuộc đời mà mọi người mong muốn cho tôi”.

Lý giải về điều này, tác giả viết: “Đây là điều hối tiếc nhất của tất mọi người. Khi mà con người ta nhận ra rằng cuộc đời mình sắp kết thúc và nhìn lại rõ ràng mọi thứ đã qua. Thật dễ dàng nhận ra cả một nửa những ước mơ ấy vẫn chưa thực hiện được cho đến khi phải nhắm mắt xuôi tay cho dù bản thân họ đã lựa chọn như thế. Sức khỏe mang lại sự tự do nhưng chỉ có ít người nhận ra cho tới khi nó mất đi”.

5. “Giá như tôi ước vẫn giữ được liên lạc với bạn bè của mình”:

Theo Bronnie, thông thường người ta không nhận ra tầm quan trọng và giá trị thực sự của những người bạn cũ cho đến thời điểm vài tuần lễ trước khi chết, song lúc đó thì họ không thể tìm lại được nữa. “Nhiều người đã quá mải mê vun vén cho cuộc sống riêng của mình mà quên đi mối dây giao kết với bạn bè. Cũng có nhiều người hối hận sâu sắc vì đã không dành thêm thời gian và những nỗ lực đáng có cho bạn bè. Tất cả họ đều nhớ đến bạn bè khi sắp lìa đời”, tác giả cuốn sách viết.

Bạn thấy mình có đang làm những việc mà chính họ đang hối tiếc không? Nếu có thì bạn hãy tự cảm thấy hạnh phúc vì mình đã được biết đến những thông tin này từ cô y tá đầy tình người nhé! Rồi ngay sau đó, bạn hãy giúp chính mình thoát khỏi những sai lầm đó để bạn không phải lặp lại những điều hối tiếc như họ.

Và khi cuốn sách này ra đời, những đọc giả của chúng đã thật cảm động để đưa ra những lời từ trái tim. Dạo quanh những blog của những đọc giả của cuốn sách này, chúng tôi bắt gặp được một bài viết thật ý nghĩa và sâu sắc như sau:

Cuộc đời là của chúng ta và chỉ mỗi người mới biết được mình cần gì từ cuộc sống. 18 tuổi chúng ta đứng giữa những lựa chọn khác nhau của cuộc đời, những ngã rẽ, những quyết định khiến không ít người trong số chúng ta phải kiên quyết mới giành được quyền quyết định.

Một người ca sỹ hát rong đã nói với vị linh mục rằng: Cả đời con đã dùng tiếng hát để nuôi dưỡng 6 đứa con của con và ao ước lớn nhất của cuộc đời là đi khắp nước Mỹ để biểu diễn những bài ca yêu thích và con đã làm được! Thế nên con chẳng có gì đế nuối tiếc cả! Sống và làm những việc bạn muốn đo chính là cách để sống không phải hối tiếc bất cứ điều gì!

Biết rằng sẽ rất lâu mới làm được những điều mình muốn, nhưng tôi sẽ không từ bỏ ước mơ và niềm đam mê của mình. Bởi vì một khi không còn chúng cuộc sống của tôi sẽ không còn ý nghĩa! Thế nên tôi sẽ sống và làm tất cả những gì mình muốn để sống một cuộc đời không hối tiếc! Bởi vì tôi chỉ có duy nhất một lần được sống là chính tôi!

Không phải ai cũng ý thức được điều này để sống một cuộc đời không hối tiếc! Nhiều người khi sắp từ giã cuộc đời vẫn còn nuối tiếc bởi vì họ đã sống một cuộc đời vô vị và nhạt nhẽo như thế! Tại sao khi còn khỏe mạnh không sống với những điều mình muốn để lúc bấy giờ phải ngồi hối tiếc!

Kỳ Thi Chọn Học Thi Giỏi Lớp 9 Năm Học 2013-2014 tỉnh Nghệ An

by

 

    Kỳ Thi Chọn Học Thi Giỏi Lớp 9 Năm Học 2013-2014 tỉnh Nghệ An    Môn Thi: Toán- Bảng A

                                                                                                         

Câu 1

 a.Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên k sao cho 2013^{k}-1 chia hết cho 10^5

 b. Tìm mọi số nguyên x sao cho x^2+28 là số chính phương

 Câu 2

 a.Giải phương trình: \sqrt{4x^2+5x+1}-2\sqrt{x^2-x+1}=9x-3

 b.Giải hệ phương trình: \left\{\begin{matrix} 2\sqrt{2x+y}=3-2x-y & & \\ x^2-2xy-y^2=2 & & \end{matrix}\right.

 Câu 3: Cho các số thực dương x,y,z  thỏa mãn xy+yz+zx=1.

Tìm min của P=\dfrac{x^2}{x+y}+\dfrac{y^2}{y+z}+\dfrac{z^2}{z+x}

Câu 4 Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm M là điểm ngoài đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến MA;MB (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến đi qua M cắt đường tròn tại C,D (C nằm giữa M và D) cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Gọi E là giao điểm của AB với  OM.

 a. Chứng minh \angle DEC=2\angle DBC

 b. Từ O kẻ tia Ot vuông góc với CD cắt tia BA ở K. Chứng minh KC và KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

 Câu 5 Cho đường gấp khúc khép kín có độ dài bằng 1.Chứng minh rằng luôn tồn tại một hình tròn có bán kính R=\dfrac{1}{4} chứa toàn bộ đường gấp khúc đó.

Bài 31: Hình học: Chứng minh MC,AH,EF đồng quy.

by

Đề bài :

Cho nửa (O;\dfrac{BC}{2}) và một điểm A trên nửa đường tròn. Hạ AH vuông góc BC. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa A dựng hai nửa đường tròn đường kính HB,HC . Chúng lần lượt cắt AB,AC tại E,F. Gọi I,K lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB,AC,.Đường thắng IK cắt tia tiếp tuyến kẻ từ B của nửa (O) tại M. Chứng minh MC,AH,EF đồng quy

Lời giải :

48146_262463270582088_927259666_n.jpg

Gọi P là giao điểm của AH và EF. kéo dài CP cắt IK tại M'.

Ta cần chứng minh M trùng với M'

Thật vậy EF là đường trung bình tam giác IHK nên EF//IK \Rightarrow \dfrac{CP}{CM'}=\dfrac{CF}{CA}(1)

Mặt Khác HF//AB (cùng vuông góc với AC) \Rightarrow \dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CH}{CB}(2)

Từ (1) và (2) suy ra \dfrac{CP}{CM'}=\dfrac{CH}{CB} \Rightarrow PH//M'B hay M'B \perp BC

\Rightarrow M\equiv M'

                               Ta có đpcm \blacksquare

Bài 30: Chứng minh 4 đoạn thẳng AA’;BB’;CC’;DD’ đồng quy tại một điểm

by

Đề bài :

 Cho tứ giác ABCD. Gọi A',B',C',D' lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD,ACD,ABD,ABC .Chứng minh AA',BB',CC',DD' đồng quy.

Lời Giải:

                                      1977427_262441890584226_373356517_n.jpg

\triangleright Gọi E,F lần lượt là trung điểm của cạnh BD;AC; H  trung điểm CA' và I là giao điểm của EF và AA'

 \triangleright Xét tam giác CA'A Có FH là đường trung bình nên AA'//FH \Rightarrow A'I // FH

 \triangleright Xét tam giác EHF có A'I //FH và A' trung điểm EH nên suy ra I trung điểm EF

Suy ra AA' đi qua trung điểm I của EF cố định.

 \triangleright Chứng minh tương tự ta cũng có BB';CC';DD' đi qua I

Vậy 4 đoạn thẳng AA';BB';CC';DD' đồng quy tại một điểm \blacksquare

…………Mời các bạn tham khảo lời giải chi tiết của mình tại đây

Kỹ Thuật Đảo Dấu Khi Chứng Minh Bất Đẳng Thức Chứa Phân Thức

by

Kỹ Thuật Đảo Dấu Khi Chứng Minh Bất Đẳng Thức Chứa Phân Thức

 

 

Lời nói đầu: Trong một số bài toán chứng minh bất đẳng thức việc sử dụng các bất đẳng thức cơ sở hay các kết quả đã có trước đó là hết sức cần thiết. Tuy nhiên nhiều bài toán khi vận dụng các kết quả đó lại cho chúng ta dấu bất đẳng thức ngược chiều. Một cách có thể khắc phục được vấn đề trên là tìm cách đảo dấu của bất đẳng thức cần chứng minh.

 

Ta sẽ đến với một số vị dụ sau đây.

 

Ví dụ 1:Cho  a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3

Chứng minh rằng: \dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} \geq \dfrac{3}{2}

 

Chú ý: Ta thấy nếu ta vội vàng dùng ngay bất đẳng thức AM-GM thì ta có:

\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\leq \dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2c}+\dfrac{c}{2a}\geq \dfrac{3}{2}???????

Do đó như đầu bài đã nêu ta sẽ đảo dấu bất đẳng thức để giải:

 

Ta có : \dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2} \geq a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2} (Theo AM-GM)

Chứng minh một cách tương tự ta cũng có : \dfrac{b}{1+b^2} \geq b- \dfrac{bc}{2};\dfrac{c}{1+a^2}\geq c- \dfrac{ca}{2}

Tiếp tục đọc →

Chuyên đề Bất Đẳng Thức Cực Trị

by

Bài viết trích dẫn của thành viên Viet Hoang 99 bên VMF

1) Một số tính chất: 

1.1) Tính chất bắc cầu: a<b  ;  b<c   \Rightarrow a<c

1.2) Cộng 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số: a<b   \Rightarrow a+c< b+c

1.3) Nhân 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số:

  • Nếu \left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac< bc
  • Nếu \left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac> bc

1.4) Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:

  • Nếu \left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a+c< b+d

1.5) Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều:

  • Nếu \left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a-c< b-d

Tiếp tục đọc →

Bài 26 : Số học : Chứng minh ab+cd là hợp số

by

Đề bài : Cho a,b,c,d  là số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các điều kiện a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)

      Chứng minh rằng ab+cd là hợp số 

Lời giải : 

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề : nếu số nguyên dương a là một ước của tích  A=a_1.a_2⋯a_n với a_i∈{N}* và a>ai, ∀i=1,2,…,n thì a là hợp số.

Chứng minh. Giả sử ngược lại, a là số nguyên tốt. Khi đó, do A_{a} nên trong các số ai phải có ít nhất một số a_j chia hết cho a, tức ta phải có a_j \geq a . Điều này mâu thuẫn với tính chất của số a, do đó nó phải là hợp số.

Trở lại bài toán:

Giả thiết của bài toán có thể được viết lại dưới dạng như sau:

ac+bd=(b+d)^2-(a-c)^2

hay a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2

Ta có

(ab+cd)(ad+bc)=ac(b^2+d^2)+bd(a^2+c^2)

=ac(b^2+bd+d^2)+bd(a^2-ac+c^2)=(ac+bd)(b^2+bd+d^2)

Do đó ab+cd là ước của (ac+bd)(b^2+bd+d^2)

Tiếp tục đọc →

Bài 25: Hình học : Chứng minh O trung điểm EF

by

Đề bài :        Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy một điểm M (M khác A). KẺ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Nối MO cắt CB tại E và BD tại F. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF .

Lời giải : 

gh

Kẻ tiếp tuyến MA’

(-)  Xét tam giác MA’D và tam giác FBE ta có :

(+)  A'B//MO (cùng vuông góc với AA’)  \Rightarrow \angle OEB =\angle EBA' (SLT)

mà  \angle CDA' =\angle EBA' \Rightarrow \angle OE'B= \angle CDA'

(+) \angle DBC =\angle CA'D ; \angle CA'D =\angle DMA' \Rightarrow \angle DMA'= \angle EBF

suy ra \triangle MA'D \sim \triangle FBE (gg)  

\Rightarrow \dfrac{A'D}{A'C}=\dfrac{BE}{BF}

Tiếp tục đọc →

Bài 24 : Hình học Chứng minh BC=MN và A,E,F thẳng hàng.

by

Đề bài : 

Cho  (O;r)  và  (I;R)  ngoài nhau  (R>r).  Kẻ tiếp tuyến chung ngoài  MN,PQ  của hai đường tròn  (M,P\in (O); N,Q\in (I)), chúng cắt nhau tại  A.   DF  là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn  (D\in (O); F\in (I)).  DF  cắt  MN,PQ tại  B,C.  Kẻ đường kính  DE  của  (O).  Chứng minh  BC=MN và A,E,F thẳng hàng.

Lời giải 

123456_zps94620965

Ta có :

2BC=BC+BC=BD+DC+BF+FC=BM+CP+BN+CQ=2MN nên BC=MN (áp dụng tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có DP \perp PA ; IQ \perp IA

nên DP // IQ

\Rightarrow \dfrac{IQ}{DP}=\dfrac{AI}{AO}=\dfrac{R}{r}=\dfrac{IF}{OE}

mà OE song song IF (cung vuông góc DF) nên A,F,E thẳng hàng

Bài 22 : Hình học : Chứng minh E,O,F thẳng hàng

by

Đề bài: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Kẻ AE vuông góc với AD (E thuộc BC) và AF vuông góc với AB (F thuộc CD). Chứng minh rằng E,O,F thẳng hàng.

Lời Giải :

Ảnh

Đây là bài toán khá cơ bản và quen thuộc… Với bài toán như trên việc tìm ra hướng giải là khá khó…nhưng nếu ta chú ý đến tính chất đối xứng ta có thể giải quyết bài toán trên một cách dễ dàng…

Trước tiên ta phải xét các trường hợp

\boxed{TH1} : Nếu \angle BAD =90^{\circ}

\rightarrow F \equiv D; E \equiv B  \rightarrow EF là đường kình nên đi qua O hay E,O,F thẳng hàng.

\boxed{TH2}  \angle BAD > 90 độ.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua EF.

\Rightarrow \angle EA'F= \angle EAF (1)

Mặt khác: \angle EAF= \angle FCE (2) (cùng bù với \angle BAD)

Tiếp tục đọc →

Bài 21: Hình học Chứng minh : BE=DE

by

 

Đề bài : (Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố Biên Hòa 2013 – 2014 ( Đồng Nai ))

 Cho tam giác  ABC  nội tiếp trong đường tròn tâm  O  đường kính  AC. Trên tia  AB  lấy  D  sao cho  AD=3AB . Tia  Dy  vuông góc với  DC  tại  D  cắt tiếp tuyến  Ax  của đường tròn  (O)  tại  E. Chứng minh :  BE=DE

 

Lời giải :

 1425569_246401798854902_1687649505_n

\star Gọi trung điểm  BD là  F,  trung điểm  CE là  G.

         Ta có:  GA = GC = GE = GD (trung điểm của cạnh huyền cách đều 3 đỉnh của tam giác vuông)

\Rightarrow A, C, D, E cùng nằm trên đường tròn tâm (G) bán kính \dfrac{CE}{2}.

Gọi  H là giao của  CB kéo dài và đường tròn tâm (G).

Ta có : 

\angle HEA = \angle HCA= \angle EAD (cùng chắn cung HA)

\Rightarrow HE // AD (do góc so le)  \Rightarrow \angle HFA = \angle HAF=\angle EDA

(∆ HAF cân do HB là trung trực của AF)

\Rightarrow ED // HF   suy ra tứ giác  EDFH  là hình bình hành  \Rightarrow ED = HF

\Rightarrow 2  ∆ EBD và  HAF bằng nhau (c.g.c). Do ∆ HAF  là ∆ cân nên ∆ EBD  là ∆ cân (tại E)

nên  \boxed{BE=DE}

 

 

Bài 20: Tổ hợp: Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu

by

Đề bài : (Đây là bài 5 trích trong kỳ thi chọn HSG  lớp 9 Thanh Hóa năm 2009-2010 )

       Trên đường tròn có 6 điểm phân biệt. Hai điểm bất kỳ trong 6 điểm này  đều được nối với nhau  bằng một đoạn thẳng màu xanh hoặc màu đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác có 3 cạnh cùng màu.

Lời giải : 

1554528_246751482153267_1544590524_n

\bigstar  Ta chọn  1  điêm bất  kỳ trong  6  điêm đó và ta goi điêm đó là A_{1}

 

\triangleright Trong  5  đoan  thăng  nối  A_{1} với  5  điêm còn lai phai có ít nhât  3  đoan cùng màu, giả sử đó là các đoạn  "A_{1}A_{2}","A_{1}A_{3}","A_{1}A_{4}"  cùng có màu B (B có thê  là xanh hoăc  đo)

 

\cdot  Nêu  các  đoan  A_{2}A_{3},A_{3}A_{4},A_{4}A_{2}  cùng màu thì  \Delta A_{2}A_{3}A_{4}   là tam giác cân tìm.

 \cdot  Nêu các đoan   A_{2}A_{3},A_{3}A_{4},A_{4}A_{2}  không cùng màu thì trong đó có ít nhât   1  đoan có màu  B, ví du  là đoan   A_{a}A_{b}  (a và b có thê  là  2 ,  3 hoăc  4 và  a khác b) :

 

Khi đó \Delta A_{1}A_{a}A_{b}  là tam giác cân tìm (có 3  canh cùng màu B)

Toán học hiện đại nhìn qua các Giải thưởng Fields

by

Toán học hiện đại nhìn qua các Giải thưởng Fields

Nhân sự kiện Ngô Bảo Châu, tôi muốn điểm lại sơ lược những thành tựu của các nhà toán học đã được giải thưởng Fields. Mỗi người trong họ đã dựng một cột mốc trên chặng đường phát triển của toán học hiện đại, và ta có thể nhìn lịch sử toán học hiện đại thông qua các giải thưởng Fields.

Fields2010_images_phocagallery_Tin-tuc-2013_thumb_medium300_0

 

Tiếp tục đọc →

Bài 18 : Hình học : Chứng minh OE vuông góc với CD

by

1653566_251186591709756_660737354_n

 

Đề bài :  Cho \Delta ABC cân tại A nội tiếp \left ( O \right ).Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm của \Delta ACD. Chứng minh OE vuông góc với CD

Lời giải : 

 

                                   ffff

 

 

\trianglerightGọi P là trung điểm AC, G là trọng tam giác ABC

\starTa có: Do E là trọng tâm tam giác ADC nên  \dfrac{PE}{PD}=\dfrac{1}{3}

-Cũng do G là trong tâm tam giác ABC nên \dfrac{PG}{PB}=\dfrac{1}{3}

-Từ đây suy ra  \dfrac{PE}{PD}=\dfrac{PG}{PB}

     \Rightarrow EG//AB

 

\triangledownDễ dàng chứng minh OD\perp AB 

\Rightarrow OD\perp GE

 

\triangledownLại có do tam giác ABC cân ở A nên GO \perp DP

 

\blacksquare  Vậy O là trực tâm tam giác DEG suy ra OE vuông góc với CD (Q.E.D)

Bài 17: Giải phương trình

by

1653566_251186591709756_660737354_n

Bài 17: Giải phương trình  x^2+(x^2+x+1)^2+\dfrac{2x(x^2+x+1)}{(x+1)^2}=1

Lời giải: 

Nhận xét :      Nhìn thấy phương trình trên chắc nhiều người đã hoa mắt rồi…Nếu đọc xong lời giải các bạn sẽ thấy bài trên thiên về biến đổi là nhiều…

Lời giải chi tiết : 

Đk:  x \neq -1

Phương trình tương đương 

x^2+(x^2+x+1)^2+\dfrac{2x(x^2+x+1)}{(x+1)^2}-1=0

\Leftrightarrow \dfrac{x^4+2x^3+x^2+(x^4+x^2+1+2x^3+2x^2+2x)(x+1)^2+2x^3+2x^2+2x-(x+1)^2}{(x+1)^2}=0

\Leftrightarrow \dfrac{x^6+4x^5+9x^4+14x^3+10x^2+4x}{(x+1)^2}=0

\Leftrightarrow \dfrac{x(x+2)(x^4+2x^3+5x^2+4x+2)}{(x+1)^2}=0

\Leftrightarrow x(x+2)[(x^2+x)^2+(2x+1)^2+1]=0

\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=0 &(t/m) & \\ x=-2 &(t/m) & \end{bmatrix}

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=0 hoặc x=-2

Đáp Án Đề Thi Học Kỳ 1 Môn Toán Lớp 9 năm 2013-2014

by

Đáp Án Đề Thi Học Kỳ 1 Môn Toán Lớp 9 năm 2013-2014

6ecbdd10

Lời giải của : Nguyễn Trung Hiếu A-Lớp 9C-THCS Đặng Thai Mai

Bài 1: Cho 

\large P=\dfrac{6}{x+2\sqrt{x}}:(\dfrac{\sqrt{x}}{x-4}+\dfrac{2}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2})

a) Tìm ĐKXĐ và Rút gọn. 

\large \trianglerightTa có : 

x+2\sqrt{x}=\sqrt{x}(2+\sqrt{x})

\large \dfrac{\sqrt{x}}{x-4}+\dfrac{2}{2-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}+2}=\dfrac{\sqrt{x}-2(\sqrt{x}+2)+\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}=\dfrac{-6}{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-2)}

\large \triangleright Như  vậy thì P xác định khi :  

\large \left\{\begin{matrix} x \geq 0 & & & \\ x \neq 0 & & & \\ \sqrt{x}\neq 2 & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x>0 & & \\ x \neq 4 & & \end{matrix}\right.

Với  \large x > 0; x \neq 4 ta có : 

\large P=\dfrac{6}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+2)}.\dfrac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)}{-6}=\dfrac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}

b) Tính giá trị của P khi \large x=\dfrac{1}{9+4\sqrt{5}}

\large \trianglerightTa có : \large x=\dfrac{1}{9+4\sqrt{5}}\Rightarrow \dfrac{1}{x}=9+4\sqrt{5}\Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{x}}=\sqrt{9+4\sqrt{5}}=\sqrt{4}+\sqrt{5} (thỏa mãn điều kiện)

\large \trianglerightLại có : 

\large P=\dfrac{2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}}=2.\dfrac{1}{\sqrt{x}}-1=2(\sqrt{4}+\sqrt{5})-1=3+2\sqrt{5}

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \large Q=P+2\sqrt{x}

ĐK :  x>0 và \large x \neq 4

\large \trianglerightTa có \large Q=P+2\sqrt{x}=2(\sqrt{x}+\dfrac{1}{x})-1

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm ta có : \large \sqrt{x}+\dfrac{1}{x} \geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}}=2

Dấu bằng xảy ra khi x=1

Như vậy \large Q \geq 2.2-1=3\\Q=3\Leftrightarrow x=1 (Thảo mãn điều kiện)

Vậy Q min bằng 3 đạt được khi x=1

Tiếp tục đọc →

Bài 16: Cyclic Quadrilaterals

by

Đề Bài :

Cho hình thang vuông ABCD có \angle A= \angle B =90. M trung điểm AB. Các đường cao AH,BK của tam giác vuông AMD,BMC. Kéo dài cắt nhau ở M

a) Chứng minh tứ giác CDHK là tứ giác nội tiếp.

b) Chứng minh MN vuông góc CD

Lời giải:

Hình vẽ : 

hurt

 

 

a)\star Xét các tam giác vuông AMD,BMC có :

MH.MD=AM^2\\MK.MC=BM^2

\Rightarrow MH.MD=MK.MC (do AM=BM)

\Rightarrow \dfrac{MH}{MK}=\dfrac{MC}{MD}

\star Từ đây dễ chứng minh được 2 tam giác MHK,MCD đồng dạng

\Rightarrow \angle MHK= \angle MCD

Lại có: \angle MHK+ \angle KHD=180

\Rightarrow \angle KHD+ \angle MCD=180

\bigstar Tứ giác KHDC nội tiếp (Q.E.D)

b) \star Dễ dàng chứng minh tứ giác MHNK nội tiếp nên :

\angle HNM= \angle MKH

Lại có  \angle MKH=\angle MDC (do tứ giác KHDC nội tiếp )

\Rightarrow \angle CDH= \angle MNH

mà \angle MNH+ \angle NHM=90

\Rightarrow \angle NMH+ \angle MDC=90

\bigstar Tới đây ta có MN vuông góc CD (Q.E.D)

Bài 15.: Geometry

by

Bài tập về vị trí tương đối giữa đương thẳng và đường tròn

\boxed{1} Cho (O,r). AB là dây cung . Khoảng cách từ O đến AB=h   .

\angle OAB=60^{\circ}. Tính r 

\boxed{2} Cho tam giác ABC nôi tiếp trong (O,r). Kẻ đường kính AA'. Cho H

là trực tâm tam giác ABC 

a) Xét xem tứ giác BHCA' là hình gì ? 

b) Chứng minh AH+HB+HC=2(OM+ON+OP) với M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,AB

Đáp án :

\boxed{1}

h12

Ta có : Tam giác OAB có  OA=OB=r nên tam giác  OAB là tam gaics cân

Lại có  \angle OAB=60^{\circ}  \Rightarrow tam giac OAB là tam giác đều .

\star Ta tính được ngay r=OA=OH.sin 60=\dfrac{h.\sqrt{3}}{2}

\boxed{2}

                                                                                   h11

a) \triangleright Ta có :

 Dễ dàng chứng minh được  : Các tam giác AA'C và AA'B là các tam giác vuông từ đó ta có :

                                         BH//A'C ( Cùng vuông góc với AC  )  (1)

Tương tự thì  

                                        A'B//CH ( Cùng vuông góc với AB  )   (2)

                                  \triangleright Từ (1), (2)  \Rightarrow BHCA' là hình bình hành .

b) Theo tính chất đường trung bình ta có : 

\bullet ON=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}BH\\ \bullet OP=\dfrac{1}{2}BA'=\dfrac{1}{2}HC\\ \bullet OM=\dfrac{1}{2}AH

Từ đây ta có Q.E.D

Nhận xét : Việc chứng minh OM=\dfrac{1}{2}AH ta có thể bỏ qua vì hoàn tương tự !