Category Archives: Hệ phương trình

Bài 6: Giải hệ phương trình

by

Đề bài

\left\{\begin{matrix} 6x^{2}y+2y^3+35=0 & & \\ 5(x^{2}+y^2)+2xy+5x+13y=0 & & \end{matrix}\right.

 Lời giải 

Cách 1 :

    

Giải
Hệ phương trình ban đầu tương đương:
\left\{\begin{matrix} (x + y)^3 - (x - y)^3 = -35\\ 3(x + y)^2 + 2(x - y)^2 = -9(x + y) + 4(x - y)\end{matrix}\right.
 
Đặt \left\{\begin{matrix}a = x + y \\ b = x - y\end{matrix}\right., ta được:
\left\{\begin{matrix}a^3 - b^3 = -35\\ 3a^2 + 2b^2 = -9a + 4b\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} b^3 = a^3 + 35 \, (1)\\ 6b^2 - 12b = - 9a^2 - 27a \end{matrix}\right.
 
\Rightarrow b^3 - 6b^2 + 12b = a^3 + 9a^2 + 27a + 35 \Leftrightarrow (b - 2)^3 = (a + 3)^3
 
\Leftrightarrow b - 2 = a + 3 \Rightarrow b = a + 5
 
Khi đó, thế vào phương trình (1), ta có:
\left\{\begin{matrix} (a + 5)^3 = a^3 + 35\\ b = a + 5\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^2 + 5a + 6 = 0\\ b = a + 5\end{matrix}\right.
 
\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}a = -2\\ b = 3 \end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}a = -3\\ b = 2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.

\Rightarrow \left[\begin{matrix}\left\{\begin{matrix}x = \dfrac{1}{2}\\y = -\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{\begin{matrix}x = \dfrac{-1}{2}\\y = -\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.

Cách 2

Ta có hệ tương đương

\left\{\begin{matrix} x^3+3x^2y+3xy^2+y^3-(x^3-3x^2y+3xy^2-y^3)=-35 & & \\3x^2+3y^2+6xy+2x^2+2y^2-4xy+9(x+y)-4(x-y)=0 & & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^3-b^3=-35 & \\ 3a^2+2b^2+9a-4b=0 & \end{matrix}\right.

\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a^3-b^3=-35 & \\ 9a^2+27a+6b^2-12b=0 & \end{matrix}\right.

Lấy (1)+(2) ta được (a+3)^3-(b-2)^3=0

Phần còn lại dành cho bạn