Bài 26 : Số học : Chứng minh ab+cd là hợp số

by

Đề bài : Cho a,b,c,d  là số tự nhiên thỏa mãn đồng thời các điều kiện a>b>c>d và ac+bd=(b+d+a-c)(b+d-a+c)

      Chứng minh rằng ab+cd là hợp số 

Lời giải : 

Trước hết ta chứng minh bổ đề sau :

Bổ đề : nếu số nguyên dương a là một ước của tích  A=a_1.a_2⋯a_n với a_i∈{N}* và a>ai, ∀i=1,2,…,n thì a là hợp số.

Chứng minh. Giả sử ngược lại, a là số nguyên tốt. Khi đó, do A_{a} nên trong các số ai phải có ít nhất một số a_j chia hết cho a, tức ta phải có a_j \geq a . Điều này mâu thuẫn với tính chất của số a, do đó nó phải là hợp số.

Trở lại bài toán:

Giả thiết của bài toán có thể được viết lại dưới dạng như sau:

ac+bd=(b+d)^2-(a-c)^2

hay a^2-ac+c^2=b^2+bd+d^2

Ta có

(ab+cd)(ad+bc)=ac(b^2+d^2)+bd(a^2+c^2)

=ac(b^2+bd+d^2)+bd(a^2-ac+c^2)=(ac+bd)(b^2+bd+d^2)

Do đó ab+cd là ước của (ac+bd)(b^2+bd+d^2)

Theo bổ đề trên, để chứng minh ab+cd là hợp số ta cần chứng minh

ab+cd > ac+bd (1)

ab+cd> b^2+bd+d^2(2)

BĐT (1) hiển nhiên đúng do ab+cd-ac-bd=(a-d)(b-c) > 0

Từ giả thiết ta thấy

a<b+d thì a^2-ac+c^2=a(a-c)+c^2<(b+d)(b+d-c)+c^2

=b^2+bd+d^2-(b-c)(c-d)<b^2+bd+d^2 (vô lý)

\Rightarrow a \geq b+d như thế ta có :

ab+cd> (b+d)b+d^2=b^2+bd+d^2

Vậy BĐT (2) đã được chứng minh xong ….bài toán đã được giải quyết !

Bình luận về bài viết này