Bài 22 : Hình học : Chứng minh E,O,F thẳng hàng

by

Đề bài: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Kẻ AE vuông góc với AD (E thuộc BC) và AF vuông góc với AB (F thuộc CD). Chứng minh rằng E,O,F thẳng hàng.

Lời Giải :

Ảnh

Đây là bài toán khá cơ bản và quen thuộc… Với bài toán như trên việc tìm ra hướng giải là khá khó…nhưng nếu ta chú ý đến tính chất đối xứng ta có thể giải quyết bài toán trên một cách dễ dàng…

Trước tiên ta phải xét các trường hợp

\boxed{TH1} : Nếu \angle BAD =90^{\circ}

\rightarrow F \equiv D; E \equiv B  \rightarrow EF là đường kình nên đi qua O hay E,O,F thẳng hàng.

\boxed{TH2}  \angle BAD > 90 độ.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua EF.

\Rightarrow \angle EA'F= \angle EAF (1)

Mặt khác: \angle EAF= \angle FCE (2) (cùng bù với \angle BAD)

Từ (1 ) và (2) suy ra \angle EA'F= \angle FCE suy ra tứ giác FA'CE nội tiếp.

\Rightarrow \angle FCA'= \angle FEA = \angle AEF

mà  \angle AEF = \angle DAA' ( cặp góc có các cạnh tương ứng vuông góc)

\Rightarrow \angle DCA'= \angle DAA'

\Rightarrow DACA' là tứ giác nội tiếp. Vậy A thuộc (O)

Do EF trung trực AA’ nên EF đi qua O hay E,F,O thẳng hàng . (Q.E.D)

\boxed{TH3}  \angle BAD < 90 độ chứng minh tương tự !

Bình luận về bài viết này