Category Archives: Hình Học

Bài 32:Hình học: Chứng minh rằng KC và KD cũng là tiếp tuyến của đường tròn (O)

by

Đề bài : (bài 4 đề thi HSG tỉnh Nghệ An 2013-2014)

Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ điểm M là điểm ngoài đường tròn kẻ hai tia tiếp tuyến MA;MB (A,B là tiếp điểm) và cát tuyến đi qua M cắt đường tròn tại C,D (C nằm giữa M và D) cung CAD nhỏ hơn cung CBD. Gọi E là giao điểm của AB với  OM.

 a. Chứng minh \angle DEC=2\angle DBC

 b. Từ O kẻ tia Ot vuông góc với CD cắt tia BA ở K. Chứng minh KC và KD là tiếp tuyến của đường tròn (O)

Lời giải :

a) Áp dụng hệ thức lượng trong đường tròn ta có MC.MD=MB^2(1)

Mặt khác: Tam giác OMB vuông có đương cao BE nên áp dụng hệ thức lượng ta có

ME.MO=MB^2(2)

Từ (1);(2) suy ra ME.MO=MC.MD\Rightarrow \dfrac{ME}{MC}=\dfrac{MD}{MO}

Xét tam giác MCE và tam giác MOD có \angle DMO chung.

\dfrac{ME}{MC}=\dfrac{MD}{MO}(cmt)

\Rightarrow tam giác MCE ~DMO(c.g.c) \Rightarrow \angle MCE=\angle MOD

\Rightarrow CEOD là tứ giác nội tiệp \Rightarrow \angle CED=\angle COD=2\angle CBD(Q.E.D)

b)

Đặt \angle MEC=\angle MDO=x  ta có :

\angle COK=\angle DOK=90-x; \angle CEK=90-x

\Rightarrow \angle COK=\angle CEK \Rightarrow KCEO là tứ giác nội tiếp

\Rightarrow OCK=\angle KEO=90 độ nên KC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Chứng minh tương tự ta cũng có KD là tiếp tuyến đường tròn (O)

Vậy KC;KD là tiếp tuyến của đường tròn (O) đpcm. \blacksquare

Bài 31: Hình học: Chứng minh MC,AH,EF đồng quy.

by

Đề bài :

Cho nửa (O;\dfrac{BC}{2}) và một điểm A trên nửa đường tròn. Hạ AH vuông góc BC. Trên nửa mặt phẳng bờ chứa A dựng hai nửa đường tròn đường kính HB,HC . Chúng lần lượt cắt AB,AC tại E,F. Gọi I,K lần lượt là điểm đối xứng với H qua AB,AC,.Đường thắng IK cắt tia tiếp tuyến kẻ từ B của nửa (O) tại M. Chứng minh MC,AH,EF đồng quy

Lời giải :

48146_262463270582088_927259666_n.jpg

Gọi P là giao điểm của AH và EF. kéo dài CP cắt IK tại M'.

Ta cần chứng minh M trùng với M'

Thật vậy EF là đường trung bình tam giác IHK nên EF//IK \Rightarrow \dfrac{CP}{CM'}=\dfrac{CF}{CA}(1)

Mặt Khác HF//AB (cùng vuông góc với AC) \Rightarrow \dfrac{CF}{CA}=\dfrac{CH}{CB}(2)

Từ (1) và (2) suy ra \dfrac{CP}{CM'}=\dfrac{CH}{CB} \Rightarrow PH//M'B hay M'B \perp BC

\Rightarrow M\equiv M'

                               Ta có đpcm \blacksquare

Bài 30: Chứng minh 4 đoạn thẳng AA’;BB’;CC’;DD’ đồng quy tại một điểm

by

Đề bài :

 Cho tứ giác ABCD. Gọi A',B',C',D' lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD,ACD,ABD,ABC .Chứng minh AA',BB',CC',DD' đồng quy.

Lời Giải:

                                      1977427_262441890584226_373356517_n.jpg

\triangleright Gọi E,F lần lượt là trung điểm của cạnh BD;AC; H  trung điểm CA' và I là giao điểm của EF và AA'

 \triangleright Xét tam giác CA'A Có FH là đường trung bình nên AA'//FH \Rightarrow A'I // FH

 \triangleright Xét tam giác EHF có A'I //FH và A' trung điểm EH nên suy ra I trung điểm EF

Suy ra AA' đi qua trung điểm I của EF cố định.

 \triangleright Chứng minh tương tự ta cũng có BB';CC';DD' đi qua I

Vậy 4 đoạn thẳng AA';BB';CC';DD' đồng quy tại một điểm \blacksquare

…………Mời các bạn tham khảo lời giải chi tiết của mình tại đây

Bài 27:Hình học: Chứng minh rằng HM=HN

by

Đề bài: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BD, CE cắt nhau ở H (D thuộc AC; E thuộc AB). Lấy I là trung điểm BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HI cắt AB, AC ở M, N. Chứng minh HM=HN.

Lời giải: 

Mời các bạn xem lời giải tại đây

ccc  h

Bài 25: Hình học : Chứng minh O trung điểm EF

by

Đề bài :        Cho đường tròn tâm O đường kính AB. Trên tiếp tuyến tại A của (O) lấy một điểm M (M khác A). KẺ cát tuyến MCD (C nằm giữa M và D). Nối MO cắt CB tại E và BD tại F. Chứng minh rằng O là trung điểm của EF .

Lời giải : 

gh

Kẻ tiếp tuyến MA’

(-)  Xét tam giác MA’D và tam giác FBE ta có :

(+)  A'B//MO (cùng vuông góc với AA’)  \Rightarrow \angle OEB =\angle EBA' (SLT)

mà  \angle CDA' =\angle EBA' \Rightarrow \angle OE'B= \angle CDA'

(+) \angle DBC =\angle CA'D ; \angle CA'D =\angle DMA' \Rightarrow \angle DMA'= \angle EBF

suy ra \triangle MA'D \sim \triangle FBE (gg)  

\Rightarrow \dfrac{A'D}{A'C}=\dfrac{BE}{BF}

Tiếp tục đọc →

Bài 24 : Hình học Chứng minh BC=MN và A,E,F thẳng hàng.

by

Đề bài : 

Cho  (O;r)  và  (I;R)  ngoài nhau  (R>r).  Kẻ tiếp tuyến chung ngoài  MN,PQ  của hai đường tròn  (M,P\in (O); N,Q\in (I)), chúng cắt nhau tại  A.   DF  là tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn  (D\in (O); F\in (I)).  DF  cắt  MN,PQ tại  B,C.  Kẻ đường kính  DE  của  (O).  Chứng minh  BC=MN và A,E,F thẳng hàng.

Lời giải 

123456_zps94620965

Ta có :

2BC=BC+BC=BD+DC+BF+FC=BM+CP+BN+CQ=2MN nên BC=MN (áp dụng tính chất hai tia tiếp tuyến cắt nhau)

Lại có DP \perp PA ; IQ \perp IA

nên DP // IQ

\Rightarrow \dfrac{IQ}{DP}=\dfrac{AI}{AO}=\dfrac{R}{r}=\dfrac{IF}{OE}

mà OE song song IF (cung vuông góc DF) nên A,F,E thẳng hàng

Bài 22 : Hình học : Chứng minh E,O,F thẳng hàng

by

Đề bài: Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O). Kẻ AE vuông góc với AD (E thuộc BC) và AF vuông góc với AB (F thuộc CD). Chứng minh rằng E,O,F thẳng hàng.

Lời Giải :

Ảnh

Đây là bài toán khá cơ bản và quen thuộc… Với bài toán như trên việc tìm ra hướng giải là khá khó…nhưng nếu ta chú ý đến tính chất đối xứng ta có thể giải quyết bài toán trên một cách dễ dàng…

Trước tiên ta phải xét các trường hợp

\boxed{TH1} : Nếu \angle BAD =90^{\circ}

\rightarrow F \equiv D; E \equiv B  \rightarrow EF là đường kình nên đi qua O hay E,O,F thẳng hàng.

\boxed{TH2}  \angle BAD > 90 độ.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua EF.

\Rightarrow \angle EA'F= \angle EAF (1)

Mặt khác: \angle EAF= \angle FCE (2) (cùng bù với \angle BAD)

Tiếp tục đọc →

Bài 21: Hình học Chứng minh : BE=DE

by

 

Đề bài : (Đề thi chọn học sinh giỏi thành phố Biên Hòa 2013 – 2014 ( Đồng Nai ))

 Cho tam giác  ABC  nội tiếp trong đường tròn tâm  O  đường kính  AC. Trên tia  AB  lấy  D  sao cho  AD=3AB . Tia  Dy  vuông góc với  DC  tại  D  cắt tiếp tuyến  Ax  của đường tròn  (O)  tại  E. Chứng minh :  BE=DE

 

Lời giải :

 1425569_246401798854902_1687649505_n

\star Gọi trung điểm  BD là  F,  trung điểm  CE là  G.

         Ta có:  GA = GC = GE = GD (trung điểm của cạnh huyền cách đều 3 đỉnh của tam giác vuông)

\Rightarrow A, C, D, E cùng nằm trên đường tròn tâm (G) bán kính \dfrac{CE}{2}.

Gọi  H là giao của  CB kéo dài và đường tròn tâm (G).

Ta có : 

\angle HEA = \angle HCA= \angle EAD (cùng chắn cung HA)

\Rightarrow HE // AD (do góc so le)  \Rightarrow \angle HFA = \angle HAF=\angle EDA

(∆ HAF cân do HB là trung trực của AF)

\Rightarrow ED // HF   suy ra tứ giác  EDFH  là hình bình hành  \Rightarrow ED = HF

\Rightarrow 2  ∆ EBD và  HAF bằng nhau (c.g.c). Do ∆ HAF  là ∆ cân nên ∆ EBD  là ∆ cân (tại E)

nên  \boxed{BE=DE}

 

 

Bài 18 : Hình học : Chứng minh OE vuông góc với CD

by

1653566_251186591709756_660737354_n

 

Đề bài :  Cho \Delta ABC cân tại A nội tiếp \left ( O \right ).Gọi D là trung điểm của AB và E là trọng tâm của \Delta ACD. Chứng minh OE vuông góc với CD

Lời giải : 

 

                                   ffff

 

 

\trianglerightGọi P là trung điểm AC, G là trọng tam giác ABC

\starTa có: Do E là trọng tâm tam giác ADC nên  \dfrac{PE}{PD}=\dfrac{1}{3}

-Cũng do G là trong tâm tam giác ABC nên \dfrac{PG}{PB}=\dfrac{1}{3}

-Từ đây suy ra  \dfrac{PE}{PD}=\dfrac{PG}{PB}

     \Rightarrow EG//AB

 

\triangledownDễ dàng chứng minh OD\perp AB 

\Rightarrow OD\perp GE

 

\triangledownLại có do tam giác ABC cân ở A nên GO \perp DP

 

\blacksquare  Vậy O là trực tâm tam giác DEG suy ra OE vuông góc với CD (Q.E.D)

Bài 15.: Geometry

by

Bài tập về vị trí tương đối giữa đương thẳng và đường tròn

\boxed{1} Cho (O,r). AB là dây cung . Khoảng cách từ O đến AB=h   .

\angle OAB=60^{\circ}. Tính r 

\boxed{2} Cho tam giác ABC nôi tiếp trong (O,r). Kẻ đường kính AA'. Cho H

là trực tâm tam giác ABC 

a) Xét xem tứ giác BHCA' là hình gì ? 

b) Chứng minh AH+HB+HC=2(OM+ON+OP) với M,N,P lần lượt là trung điểm BC,CA,AB

Đáp án :

\boxed{1}

h12

Ta có : Tam giác OAB có  OA=OB=r nên tam giác  OAB là tam gaics cân

Lại có  \angle OAB=60^{\circ}  \Rightarrow tam giac OAB là tam giác đều .

\star Ta tính được ngay r=OA=OH.sin 60=\dfrac{h.\sqrt{3}}{2}

\boxed{2}

                                                                                   h11

a) \triangleright Ta có :

 Dễ dàng chứng minh được  : Các tam giác AA'C và AA'B là các tam giác vuông từ đó ta có :

                                         BH//A'C ( Cùng vuông góc với AC  )  (1)

Tương tự thì  

                                        A'B//CH ( Cùng vuông góc với AB  )   (2)

                                  \triangleright Từ (1), (2)  \Rightarrow BHCA' là hình bình hành .

b) Theo tính chất đường trung bình ta có : 

\bullet ON=\dfrac{1}{2}AC=\dfrac{1}{2}BH\\ \bullet OP=\dfrac{1}{2}BA'=\dfrac{1}{2}HC\\ \bullet OM=\dfrac{1}{2}AH

Từ đây ta có Q.E.D

Nhận xét : Việc chứng minh OM=\dfrac{1}{2}AH ta có thể bỏ qua vì hoàn tương tự !

Bài 13:Cho tam giác ABC vuông tại A.Chứng minh hệ thức giữa góc và cạnh tam giác

by

Đề Bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A.Chứng minh: tan \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{AC}{AB + BC}

Lời giải: 

 

                                                                              932194969_508550047_574_574

\bigstar Kẻ BM là phân giác \angle B; kẻ MH \bot BC

nên tan \dfrac{\angle ABC}{2}= tan \angle ABM=\dfrac{AM}{AB}

\bigstar Xét \triangle ABC có AM là phân giác

nên \dfrac{ AM}{AB}=\dfrac{MC}{BC}(1)

 

\bigstar  CM dễ dàng \triangle MHC\sim \triangle BAC (gg)

nên \dfrac{MH}{HC}=\dfrac{AB}{AC} ; \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{MC}{HC}

 

\Rightarrow \dfrac{MH+MC}{HC}=\dfrac{AB+BC}{AC}

 

\bigstar  Mặt khác, ta prove that được AM= MH

nên MH+ MC= AM+MC= AC

 

\bigstar  Thay vào ta được \dfrac{AC}{HC}=\dfrac{AB+BC}{AC}

 

hay \dfrac{HC}{AC}=\dfrac{AC}{AB+ BC}(2)

 

\bigstar  Lại có \triangle AHC\sim \triangle BMC

nên \dfrac{HC}{AC}=\dfrac{MC}{BC}(3)

 

 Từ (2)(3) \Rightarrow \dfrac{MC}{BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}(4)

 

Từ (1)(4) \rightarrow \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AC}{AB+BC}

\Rightarrow tan \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{AC}{AB+BC}(Q.E.D)

 

 

Bài 11: Bài tập đường tròn cắt nhau !

by

Đề bài 1:

Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AC của (O) đồng thời là tiếp tuyến (O’) dây AD của (O’) đồng thời là tiếp tuyến (O) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc AC qua O’ vẽ đường thẳng vuông góc AD cắt nhau tại K
 AOKO’ là hình gì

Lời giải 

7

Ta có OA vuông góc AD ( do tính chất đường tiếp tuyến )

lại có : O’K vuông góc AB (theo cách dựng)

\Rightarrow OA//O'K\star

Chứng minh tương tự ta cũng có :

OK//O'A\star\star

Từ đó ta có tứ giác AOKO’    là hình bình hành !

(còn tiếp…. )

Bài 10 : Tỉ số lượng giác và tam giác đồng dạng

by

Đề bài :

a) Cho tam giác nhọn ABC . 

Chứng minh : \dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}

b) Cho tam giác ABC nhọn, 2 đường cao BD,CE.

Chứng minh tam giác ADE đông dạng với tam giác ABC

Lời Giải: 

                                                    5

a) Kẻ BH vuông góc AC (H thuộc BC). Ta có : 

BH=sinA.c=sinC.a 

\Rightarrow \dfrac{a}{sinA}=\dfrac{c}{sinC}\star

Chứng minh tương tự ta cũng có : 

\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\star\star (Bằng cách kẻ vuông góc)

Từ (\star),(\star\star)\Rightarrow \dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}

b) Dễ Chứng minh 2 tam giác đó đồng dạng (c.g.c) do góc A chung và \dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=cosA

Bài 4: Hệ Thức Lượng Trong tam giác vuông

by

Đề Bài

Cho tam giác ABC vuông taị A co AB bằng 6cm BC bằng 10cm và đường cao AH.
a) Tinh AC BH AH.
b) Kẻ HE vuông gốc AB, HF vuông gốc AC. Cm: AE.AB=AF.AC=HB.HC.
c) Chứng minh BC=AC.cos +AB.cosB

Lơì giải

b2                         Hinh 10

a, Theo định lý Pytago tính ra được AC = 8cm

Theo Hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC có:
BH.BC=AB^2=36
\Rightarrow BH = 3.6cm

Lại có: AH.BC= AB.AC
\Rightarrow AH = 6.8 :10 = 4.8cm

b, Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông AHB và tam giác vuông AHC có:
AE.AB =AH^2
AF.AC =AH^2
\Rightarrow AE.AB = AF.AC

c. Áp đụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có :

BC=\frac{AC}{cosC}=\frac{BC}{cosB}=AC.cosB+AB.cosC (Q.E.D) do cosB.cosC=1