Category Archives: Bất Đẳng Thức

Kỹ Thuật Đảo Dấu Khi Chứng Minh Bất Đẳng Thức Chứa Phân Thức

by

Kỹ Thuật Đảo Dấu Khi Chứng Minh Bất Đẳng Thức Chứa Phân Thức

 

 

Lời nói đầu: Trong một số bài toán chứng minh bất đẳng thức việc sử dụng các bất đẳng thức cơ sở hay các kết quả đã có trước đó là hết sức cần thiết. Tuy nhiên nhiều bài toán khi vận dụng các kết quả đó lại cho chúng ta dấu bất đẳng thức ngược chiều. Một cách có thể khắc phục được vấn đề trên là tìm cách đảo dấu của bất đẳng thức cần chứng minh.

 

Ta sẽ đến với một số vị dụ sau đây.

 

Ví dụ 1:Cho  a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3

Chứng minh rằng: \dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} \geq \dfrac{3}{2}

 

Chú ý: Ta thấy nếu ta vội vàng dùng ngay bất đẳng thức AM-GM thì ta có:

\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\leq \dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2c}+\dfrac{c}{2a}\geq \dfrac{3}{2}???????

Do đó như đầu bài đã nêu ta sẽ đảo dấu bất đẳng thức để giải:

 

Ta có : \dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2} \geq a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2} (Theo AM-GM)

Chứng minh một cách tương tự ta cũng có : \dfrac{b}{1+b^2} \geq b- \dfrac{bc}{2};\dfrac{c}{1+a^2}\geq c- \dfrac{ca}{2}

Tiếp tục đọc →

Chuyên đề Bất Đẳng Thức Cực Trị

by

Bài viết trích dẫn của thành viên Viet Hoang 99 bên VMF

1) Một số tính chất: 

1.1) Tính chất bắc cầu: a<b  ;  b<c   \Rightarrow a<c

1.2) Cộng 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số: a<b   \Rightarrow a+c< b+c

1.3) Nhân 2 vế của bất đẳng thức với cùng 1 số:

  • Nếu \left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac< bc
  • Nếu \left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< 0 & & \end{matrix}\right.\Rightarrow ac> bc

1.4) Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:

  • Nếu \left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c< d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a+c< b+d

1.5) Trừ từng vế của hai bất đẳng thức ngược chiều:

  • Nếu \left\{\begin{matrix}a< b & & \\ c> d & & \end{matrix}\right.\Rightarrow a-c< b-d

Tiếp tục đọc →