Kỹ Thuật Đảo Dấu Khi Chứng Minh Bất Đẳng Thức Chứa Phân Thức

by

Kỹ Thuật Đảo Dấu Khi Chứng Minh Bất Đẳng Thức Chứa Phân Thức

 

 

Lời nói đầu: Trong một số bài toán chứng minh bất đẳng thức việc sử dụng các bất đẳng thức cơ sở hay các kết quả đã có trước đó là hết sức cần thiết. Tuy nhiên nhiều bài toán khi vận dụng các kết quả đó lại cho chúng ta dấu bất đẳng thức ngược chiều. Một cách có thể khắc phục được vấn đề trên là tìm cách đảo dấu của bất đẳng thức cần chứng minh.

 

Ta sẽ đến với một số vị dụ sau đây.

 

Ví dụ 1:Cho  a,b,c là các số dương thỏa mãn a+b+c=3

Chứng minh rằng: \dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} \geq \dfrac{3}{2}

 

Chú ý: Ta thấy nếu ta vội vàng dùng ngay bất đẳng thức AM-GM thì ta có:

\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2}\leq \dfrac{a}{2b}+\dfrac{b}{2c}+\dfrac{c}{2a}\geq \dfrac{3}{2}???????

Do đó như đầu bài đã nêu ta sẽ đảo dấu bất đẳng thức để giải:

 

Ta có : \dfrac{a}{1+b^2}=a-\dfrac{ab^2}{1+b^2} \geq a-\dfrac{ab^2}{2b}=a-\dfrac{ab}{2} (Theo AM-GM)

Chứng minh một cách tương tự ta cũng có : \dfrac{b}{1+b^2} \geq b- \dfrac{bc}{2};\dfrac{c}{1+a^2}\geq c- \dfrac{ca}{2}

Cộng vế theo vế 3 bất đẳng thức trên ta có :

\dfrac{a}{1+b^2}+\dfrac{b}{1+c^2}+\dfrac{c}{1+a^2} \geq a+b+c - \dfrac{ab+bc+ca}{2}

\geq 3-\dfrac{(a+b+c)^2}{6}=\dfrac{3}{2}

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

 

Ví dụ 2: Cho các số dương a,b,c,d thảo mãn a+b+c+d=4.

Chứng minh rằng: \dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b} \geq 2

 

Lời giải: (Tiếp tục sử dụng kỹ thuật đổi dấu)

\dfrac{a}{1+b^2c}=a-\dfrac{ab^2c}{1+b^2c}\geq a-\dfrac{ab^2c}{2b\sqrt{c}}

=a-\dfrac{ab\sqrt{c}}{2}=a-\dfrac{b\sqrt{a.ac}}{2} \geq a-\dfrac{b(a+ac)}{4}=a-\dfrac{1}{4}(ab+abc)

 

Chứng minh tương tự với các biểu thức còn lại ta sẽ có:

\dfrac{a}{1+b^2c}+\dfrac{b}{1+c^2d}+\dfrac{c}{1+d^2a}+\dfrac{d}{1+a^2b}

\geq a+b+c+d -\dfrac{1}{4}(ab+bc+ca+ad +abc+bcd+cda+dab)

lại có  ab+bc+ca+ad \leq \dfrac{(a+b+c+d)^2}{4}=4

và abc+bcd+cda+dab =ab(c+d)+cd(a+b)

\leq \dfrac{1}{4}(a+b)(c+d)(a+b+c+d)

\leq \dfrac{1}{16}(a+b+c+d)^3=4

Suy ra đpcm.

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=d=1

 

Ví dụ 3 (Rumania 1997) Cho 3 số thực dương a,b,c.

Chứng minh rằng: \dfrac{bc}{a^2+2bc}+\dfrac{ca}{b^2+2ca}+\dfrac{ab}{c^2+2ab} \leq 1

 

Lời giải: ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

\dfrac{2bc}{a^2+2bc}+\dfrac{2ca}{b^2+2ca}+\dfrac{2ab}{c^2+2ab} \leq 2

Sử dụng kỹ thuật đảo dấu như trên ta cần chứng minh :

3-\sum \dfrac{a^2}{a^2+2bc} \leq 1

 hay \sum \dfrac{a^2}{a^2+2bc} \geq 1 (bất đẳng thức này đúng theo Cauchy-schwarzt)

Suy ra điều phải chứng minh

Sau đây là một số bài tập áp dụng: 

\boxed{1} (Bosinia 2002) Cho 3 số thực không âm a,b,c thỏa mãn a^2+b^2+c^2=1

Chứng minh rằng: \dfrac{a^2}{1+2bc}+\dfrac{b^2}{1+2ca}+\dfrac{c^2}{1+2ab}\geq \dfrac{3}{5}

\boxed{2} (MOSP 2003). Cho ba số thực không âm a,b,c thảo mãn a^2+b^2+c^2=1

Chứng minh rằng 1 \leq \dfrac{a}{1+bc}+\dfrac{b}{1+ca}+\dfrac{c}{1+ab} \leq \dfrac{3\sqrt{3}}{4}

\boxed{3} (Iran 2005). Cho a,b,c \geq 0 thỏa mãn \dfrac{1}{1+a^2}+\dfrac{1}{1+b^2}+\dfrac{1}{1+c^2}=2.

Chứng minh rằng: ab+bc+ca \leq \dfrac{3}{2}

Bình luận về bài viết này