Bài 13:Cho tam giác ABC vuông tại A.Chứng minh hệ thức giữa góc và cạnh tam giác

18.09.2013 by hieuanguyentrung

Đề Bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A.Chứng minh: $tan \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{AC}{AB + BC}$

Lời giải:

$\bigstar$ Kẻ $BM$ là phân giác $\angle B$ ; kẻ $MH \bot BC$

nên $tan \dfrac{\angle ABC}{2}= tan \angle ABM=\dfrac{AM}{AB}$

$\bigstar$ Xét $\triangle ABC$ có $AM$ là phân giác

nên $\dfrac{ AM}{AB}=\dfrac{MC}{BC}(1)$

$\bigstar$ CM dễ dàng $\triangle MHC\sim \triangle BAC (gg)$

nên $\dfrac{MH}{HC}=\dfrac{AB}{AC} ; \dfrac{BC}{AC}=\dfrac{MC}{HC}$

$\Rightarrow \dfrac{MH+MC}{HC}=\dfrac{AB+BC}{AC}$

$\bigstar$ Mặt khác, ta prove that được $AM= MH$

nên $MH+ MC= AM+MC= AC$

$\bigstar$ Thay vào ta được $\dfrac{AC}{HC}=\dfrac{AB+BC}{AC}$

hay $\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{AC}{AB+ BC}(2)$

$\bigstar$ Lại có $\triangle AHC\sim \triangle BMC$

nên $\dfrac{HC}{AC}=\dfrac{MC}{BC}(3)$

Từ (2)(3) $\Rightarrow \dfrac{MC}{BC}=\dfrac{AC}{AB+BC}(4)$

Từ (1)(4) $\rightarrow \dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AC}{AB+BC}$

$\Rightarrow tan \dfrac{\angle ABC}{2}=\dfrac{AC}{AB+BC}(Q.E.D)$

Bài 12: Cực trị hình học

02.09.2013 by hieuanguyentrung

Đề Bài :

Cho tam giác ABC vuông tại A. Từ điểm O trong tam giác, vẽ $OA'\perp BC$ , $OB'\perp CA$ , $OC'\perp AB.$ . Xác định vị trí của O để $OA'^{2}+ OB'^{2} + OC'^{2}$ nhỏ nhất.

Lời Giải

Kẻ $AH\perp BC$ , $OK\perp AH$ . Nối OA

$\bigstar$ Ta có:

Xét tứ giác $AC'OB'$ có

$\angle A=90^{\circ}, \angle OC'A=90^{\circ},\angle AB'O=90^{\circ}$

Vậy tứ giác $AC'OB'$ là chữ nhật $\Rightarrow AO=B'C'$

$\bigstar$ Chứng minh tương tự $A'HKO$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow A'O=KH$

$\bigstar$ Ta có:

$OB'^2+OC'^2=B'C'^2=AO^2$

Do $AO \geq AK \Rightarrow AO^2 \geq AK^2$

$\Rightarrow OB'^2+OC'^2+OA'^2\geq AK^2+OA'^2=AK^2+KH^2$

Áp Dụng BĐT AM-GM ta có :

$AK^2+KH^2\geq\dfrac{(AK+KH)^2}{2}$

$\Rightarrow AK^2+KH^2 \geq \dfrac{AH^2}{2}$

$\Rightarrow OA'^2+OB'^2+OC'^2 \geq \dfrac{AH^2}{2}$

Ta có : Min $OA'^2+OB'^2+OC'^2=\dfrac{AH^2}{2}$ khi O là trung điểm AH

Vậy khi O là trung điểm đương cao AH thì $OA'^2+OB'^2+OC'^2$ nhỏ nhất

Đề Thi KHTN

02.09.2013 by hieuanguyentrung

Phần I : Đề Bài

Câu 1 (2,0 điểm). Tìm GTLN, GTNN của:

$A = sin^3x+cos^3x-sinxcosx+sinx+cosx$

Câu 2 (2,0 điểm). Cho cấp số cộng $(a_n)_{n \geq 1}$ với công sai $d$ và cấp số nhân $(b_n)_{n \geq 1}$ với công bội $q$ . Tính giá trị của biểu thức:

$A=a_1b_1+a_2b_2+...+a_{2013}b_{2013}$

theo $a_1,b_1,d,q$

Câu 3 (1,5 điểm). Cho tứ diện ABCD có $AB=CD=c;AC=BD=b;AD=BC=a$ . Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $ABCD$ .

Câu 4 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix}5x=2y^2-4y+7\\5y=2z^2-4z+7 \\ 5z=2x^2-4x+7\end{matrix}\right.$

Câu 5 (1,5 điểm). Cho hàm số $y=f(x)$ khả tích và thỏa mãn $</strong>\int_{0}^{1}fxdx=2013<strong>$ và:

$|</strong>fx_1-fx_2|< | x_1^3 +x_2^3 -x_1x_2^2-x_2x_1^2|$ , $\forall x_1, x_2 \in \mathbb{R}<strong>$

Xác định hàm số đã cho.

Câu 6 (1,5 điểm). Một cửa hàng hoa có 5 loại hoa: hoa hồng, hoa lan, hoa cúc, hoa ly, hoa huệ với số lượng lớn. Một người khách hàng đến mua 20 bông hoa. Có bao nhiêu cách chọn các loại hoa.

Bài 11: Bài tập đường tròn cắt nhau !

02.09.2013 by hieuanguyentrung

Đề bài 1:

Cho (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Vẽ dây AC của (O) đồng thời là tiếp tuyến (O’) dây AD của (O’) đồng thời là tiếp tuyến (O) Qua O vẽ đường thẳng vuông góc AC qua O’ vẽ đường thẳng vuông góc AD cắt nhau tại K
AOKO’ là hình gì

Lời giải

Ta có OA vuông góc AD ( do tính chất đường tiếp tuyến )

lại có : O’K vuông góc AB (theo cách dựng)

$\Rightarrow OA//O'K\star$

Chứng minh tương tự ta cũng có :

$OK//O'A\star\star$

Từ đó ta có tứ giác AOKO’ là hình bình hành !

(còn tiếp…. )

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

01.09.2013 by hieuanguyentrung

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình

$15x-2x^2-5=\sqrt{2x^2-15x+11}$

Phương trình trên tương đương với

$(2x^2-15x+5)+\sqrt{2x^2-15x+11}=0$

Ta đặt $t=\sqrt{2x^2-15x+11}$ (ở đây vì t là giá trị căn số học nên $t \geq 0$ ).

Ta có $t^2+t-6=0 \Rightarrow t_1=2; t_2=-3$ (loại).

Với $t=2$ , ta có:

$\sqrt{2x^2-15x+11}=2$

$2x^2-15x+7=0$

$x_1=7;x_2=\frac{1}{2}$

Sau khi thử nghiệm ta thấy $x_1=7$ và $x_2=1/2$ đúng là nghiệm của phương trình đã cho.

Nếu không dùng phương pháp đặt ẩnn phụ thì các bạn sẽ phải bình phương một đa thức và phải giải một phương trình bậc 4.

Ví dụ 2: Giải phương trình

$\sqrt{x-1+2\sqrt{x-2}}+\sqrt{7+x+6\sqrt{x-2}}=2$

Ta có: $\sqrt{(x-2)+2\sqrt{x-2}+1}+\sqrt{(x-2)+2.3\sqrt{x-2}+9}=2$

Đặt $t=\sqrt{x-2}(t \geq 0)$ , ta sẽ viết được:

$\sqrt{t^2+2t+1}+\sqrt{t^2+6t+9}=2\sqrt{(t+1)^2}+\sqrt{(t+3)^2}=2$

Ở đây, vì t dương nên t+1 và t+3 cũng đều dương, và ta có:

$(t+1)+(t+3)=2 \Rightarrow t=-1$

Như vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

2. Phương pháp phản chứng

Các bạn đã biết phương pháp phản chứng ngay từ khi học lớp 6. Dùng phương pháp phản chứng để giải phương trình vô tỉ nhiều khi khá tốt. Chẳng hạn ta có thể giải phương trình đã cho trong ví dụ 2 ở trên bằng phương pháp phản chứng.

Đầu tiên, ta thấy, nếu phương trình có nghiệm là $x_0$ thì $x_0 \geq 2$ để cho $x_0-2 \geq 0$ (số dưới căn bậc hai).
Ta có:

$\sqrt{x_0-1+2\sqrt{x_0-2}}+\sqrt{7+x_0+6\sqrt{x_0-2}} > \sqrt{7+x_0+6\sqrt{x_0-2}}>\sqrt{7}>2$

Điều này trở nên vô lí, vì nếu $x_0$ là nghiệm thì vế trái của phương trình phải bằng vế phải. Do đó, phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Phương pháp hệ

Phương pháp hệ dùng để giải phương trình vô tỉ có dạng

$\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} =k \ \ \ \ \ \ \ (1)$

Ta có thể thử được dễ dàng đẳng thức sau đây:

$\left ( \sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{cx+d} \right )^2=k^2=\left ( \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d} \right )^2+\left ( a-c \right )\left ( \dfrac{b}{a}-\dfrac{d}{c} \right ) \ \ \ \ \ \ \ (2)$

Như vậy, việc giải (1) ta được đưa đến việc giải hệ:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{ax+b} \ \pm \sqrt{cx+d}=k & & \\ \sqrt{\dfrac{c}{a}}.\sqrt{ax+b} \ \pm \ \sqrt{\dfrac{a}{c}}.\sqrt{cx+d}=l & & \end{matrix}\right.$

Ta sẽ tìm được $ax+b$ hoặc $cx+d$ và do đó sẽ xác định được $x$ . Trong thức hành, khi đã quen thì việc thành lập $(2)$ khá nhanh gọn.

Ví dụ 3: Giải phương trình $\sqrt{x+3} \ + \ \sqrt{2x-1}=4$

Phân tích $\left ( \sqrt{2x-1} \ + \ \sqrt{x+3} \right )^2=\left (\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1} \ + \ \sqrt{2}.\sqrt{x+3} \right )^2-3,5=16.$

Từ đó ta viết được:

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1} \ + \sqrt{2}.\sqrt{x+3}=\sqrt{19,5}.$

Sau khi nhân cả hai vế với $\sqrt{2}$ , ta có:

$\sqrt{2x-1} \ +\sqrt{x+3} \ + \ \sqrt{x+3}=\sqrt{39}$
$4+ \ \sqrt{x+3}= \sqrt{39} \Rightarrow x=(52-8\sqrt{39})$

Thử lại phương trình đã cho, ta có $x=(52-8\sqrt{39})$ là nghiệm.

Ngoài ra, phương trình đã cho không có nghiệm nào khác vì

$\dfrac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2x-1}\ +\sqrt{2}.\sqrt{x+3}=-\sqrt{19,5}$

là phương trình vô nghiệm (tổng của hai số dương không thể nào là số âm).

Ví dụ 4: Giải phương trình: $\sqrt{4x-2} \ + \ \sqrt{4x+2}=4$ .

Đây là trường hợp $a=c$ nên ta có:

$\dfrac{4}{\sqrt{4x+2} \ - \ \sqrt{4x-2}}=4 \Rightarrow \sqrt{4x+2} \ - \ \sqrt{4x-2}=1$

Cộng vế phương trình này với vế phương trình đã cho, ta có:

$2\sqrt{4x+2}=5 \Rightarrow x= \dfrac{17}{16}.$

4.GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG CÁCH ĐÁNH GIÁ

* Cách 1. Tìm một nghiệm và chứng minh đó là nghiệm duy nhất
Thí dụ 1: Giải phương trình: $\sqrt{\dfrac{6}{3-x}}+\sqrt{\dfrac{8}{2-x}}=6$ $(1)$

Lời giải : Điều kiện $x<2$

Với phương trình dạng này ta thường dự đoán nghiệm là các giá trị của $x$ mà biểu thức dưới căn nhận giá trị là một số chính phương. Nhận thấy nghiệm của $(1)$ phải lớn hơn 1.

Bằng cách thử ta thấy rằng $(1)$ có một nghiệm là $x=\dfrac{3}{2}$

Ta chứng minh đó là nghiệm duy nhất của (1). Thật vậy:

$\star$ Với $x< \dfrac{3}{2}$ ta có $\sqrt{\dfrac{6}{3-x}}<2$ và $\sqrt{\dfrac{8}{2-x}}<4$ .

Do đó $\sqrt{\dfrac{6}{3-x}}+\sqrt{\dfrac{8}{2-x}}<6$

Suy ra (1) không có nghiệm trong $\left ( -\infty ;\dfrac{3}{2} \right )$

$\star$ – Với $\dfrac{3}{2}<x<2$ , chứng minh tương tự ta có $\sqrt{\dfrac{6}{3-x}}+\sqrt{\dfrac{8}{2-x}}>6$ .

Suy ra $(1)$ không có nghiệm trong $\left ( \dfrac{3}{2};2 \right )$

Vậy PT (1) có nghiệm duy nhất $x=\dfrac{3}{2}$

* Muốn giải phương trình bằng cách đánh giá thì điều quan trọng là phải đoán được nghiệm của nó. Để đoán nghiệm ta nên chỉ ra khoảng chứa nghiệm và xét trường hợp đặc biệt để tìm ra nghiệm trong đó.

* Cách 2. Đánh giá hai vế

Xét phương trình $f(x)=g(x)$ xác định trên D

Nếu $\left\{\begin{matrix} f(x)\geq m(x)\\ g(x)\leq m(x) \end{matrix}\right. \forall x\in D$ thì $f(x)=g(x)$ với $x\in D\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} f(x)=m(x)\\ g(x)=m(x) \end{matrix}\right.$

Trong cách đánh giá này ta thường dùng các bất đẳng thức quen thuộc để đánh giá hai vế. Sau đây là một thí dụ minh họa.

Thí dụ 2: Giải phương trình: $\sqrt{1+\sqrt{2x-x^2}}+\sqrt{1-\sqrt{2x-x^2}}=2(x-1)^4(2x^2-4x+1)$ (2)

Lời giải: Điều kiện: $0\leq x\leq 2$ . Đặt $t=(x-1)^2$ , ta có $0\leq t\leq 1$ . PT (2) trở thành

$\sqrt{1+\sqrt{1-t}}+\sqrt{1-\sqrt{1-t}}=2t^2(2t-1)$

Nhận thấy: $2t-1\geq 0\Leftrightarrow t\geq \dfrac{1}{2}$
Bình phương hai vế và rút gọn ta được:

$1+\sqrt{t}=2t^4(2t-1)^2\Leftrightarrow \dfrac{1}{t^4}+\dfrac{1}{t^3\sqrt{t}}=2(2t-1)^2$
Vì $t\leq 1$ nên $\dfrac{1}{t^4}+\dfrac{1}{t^3\sqrt{t}}\geq 2$ .

Từ đó suy ra $t=1\Leftrightarrow x=2$ (thỏa mãn ĐK).

Vậy nghiệm của phương trình (2) là x=2

Thí dụ 3: Giải phương trình: $\sqrt{3x^2-1}+\sqrt{x^2-x}-x\sqrt{x^2+1}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}(7x^2-x+4)$ (3)
Lời giải:

Điều kiện là $x\geq 1$ hoặc $x\leq -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

Gọi vế trái và vế phải của (3) thứ tự là A và B

Áp dụng BĐT Bunyakovsky cho hai bộ số $(1,1,-x)$ và $(\sqrt{3x^2-1},\sqrt{x^2-x},\sqrt{x^2+1})$ ta có:

$A\leq \sqrt{(x^2+2)(5x^2-x)}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=-1.

Do $x\geq 1$ hoặc $x\leq -\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ nên $5x^2-x>0$ .

Áp dụng BĐT Cauchy ta có:

$B=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}[5x^2-x+2(x^2+2)]\geq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}.2\sqrt{(5x^2-x)2(x^2+2)}=\sqrt{(5x^2-x)(x^2+2)}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=-1 và $x=\dfrac{4}{3}$
Vậy nghiệm của PT (3) là $x=-1$

(Còn nữa……….)

Bài 10 : Tỉ số lượng giác và tam giác đồng dạng

01.09.2013 by hieuanguyentrung

Đề bài :

a) Cho tam giác nhọn $ABC$ .

Chứng minh : $\dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}$

b) Cho tam giác $ABC$ nhọn, 2 đường cao $BD,CE$ .

Chứng minh tam giác $ADE$ đông dạng với tam giác $ABC$

Lời Giải:

a) Kẻ BH vuông góc AC (H thuộc BC). Ta có :

$BH=sinA.c=sinC.a$

$\Rightarrow \dfrac{a}{sinA}=\dfrac{c}{sinC}\star$

Chứng minh tương tự ta cũng có :

$\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}\star\star$ (Bằng cách kẻ vuông góc)

Từ $(\star),(\star\star)\Rightarrow \dfrac{a}{sinA}=\dfrac{b}{sinB}=\dfrac{c}{sinC}$

b) Dễ Chứng minh 2 tam giác đó đồng dạng (c.g.c) do góc A chung và $\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}=cosA$

	Khôi trong Bài 5: Tìm Max,Min
	Khôi trong Bài 13:Cho tam giác ABC vuông…
	hieuanguyentrung trong Một số phương pháp giải phương…
	Đình Huy trong Một số phương pháp giải phương…

Hiếu 's Blog:Nơi tôi tìm kiếm niềm vui^^

Monthly Archives: Tháng Chín 2013

Bài 13:Cho tam giác ABC vuông tại A.Chứng minh hệ thức giữa góc và cạnh tam giác

Bài 12: Cực trị hình học

Đề Thi KHTN

Phần I : Đề Bài

Bài 11: Bài tập đường tròn cắt nhau !

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Bài 10 : Tỉ số lượng giác và tam giác đồng dạng

Chia sẻ:

Chia sẻ:

Phần I : Đề Bài

Chia sẻ:

Chia sẻ:

Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ

Chia sẻ:

Chia sẻ: